Bien, quiero comenzar esta nota, amigos, contándoles que nace de un trabajo que preparé para un alumno mío hace ya varias lunas. Y, de paso, me ha servido para ahondar en el pensamiento de Zenón de Elea, que ya conociéramos en el Minitour por la Historia de la Filosofía, que nos había quedado pendiente.
Como reza el
título, la nota es sobre la dialéctica, pero nada mejor que ejemplificarla con
los sorprendentes constructos de Zenón. Así pues, ¡Vamos allá!
Es decir, se
asemeja a un fiscal atacando un tema (la tesis) exhibiendo sus puntos negativos
(la antítesis). De allí surge una síntesis, que sería el fallo, que resume todo
lo expuesto buscando una interpretación única del problema.
Y, precisamente,
el protagonista de nuestra historia fue considerado por el maestro Aristóteles
como el inventor de la dialéctica. Me refiero a Zenón de Elea (c.490
– 430 a.n.e., antes de nuestra era).
Zenón, nacido
en Elea, ciudad ubicada en la costa occidental de la península itálica, pero
perteneciente en esa época, a la Magna Grecia, fue un maestro en el uso de la
dialéctica para argumentar sobre sus dichos e ideas. Y resulta ser, que Zenón,
aunque no se crea, está hoy en día vigente como ejemplo de dialéctica a pesar
de los 24 siglos que nos separan de él. ¿Por qué? Porque Zenón, hay que
reconocerlo, razonaba en forma impecable cuando argumentó (en una exhibición de
la dialéctica) que el movimiento es imposible…
Quizás ustedes
se sientan tentados a pensar: Martín está crazy, este Zenón habla humedades.
No nos precipitemos y veamos primero la argumentación de Zenón. Para ello, voy
a presentarles a otro personaje de esta historia, se trata de
Aquiles o Aquileo. Como ustedes recordarán, Aquiles es un personaje
de la mitología griega, un héroe de la guerra de Troya y uno de los principales
protagonistas y más grandes guerreros de la Ilíada de Homero. En la
célebre obra homérica, Aquiles suele ser calificado como «el de los pies
ligeros», ya que se le consideraba el más veloz de los hombres.
Pues bien,
Zenón sostenía que si Aquiles, el de los pies ligeros, corría una
carrera contra una tortuga, dándole la mitad del recorrido de ventaja, nunca
podría ganarle, es más, ni siquiera podría alcanzarla. Esta era la antítesis,
opuesta a la universalmente aceptada tesis de que Aquiles la
alcanzaría y luego llegaría primero a la meta.
Veamos el
razonamiento de Zenón: Supongamos que Aquiles corre a una velocidad diez veces
mayor que la de la tortuga (no es importante si es diez veces mayor, veinte,
treinta,…). Entonces, cuando Aquiles llegue a la mitad del recorrido, que es,
recordemos, donde se hallaba la tortuga al comienzo de la prueba, ésta ya no
estará allí sino un décimo de la mitad más adelante (recordemos que “corre” a
un décimo de la velocidad de Aquiles); cuando Aquiles recorra ese décimo de la
mitad, la tortuga habrá recorrido un décimo del décimo de la mitad y así
siguiendo. De modo que Aquiles se irá acercando a la tortuga, pero no la
alcanzará nunca pues ella siempre estará un décimo de lo que acaba de recorrer
Aquiles más adelante. Es decir que nuestro héroe debe recorrer primero la mitad
de la distancia total, hasta donde estaba la tortuga al comenzar, pero, cuando
arriba a la mitad, la tortuga ya está un décimo de dicha mitad más adelante, luego
un décimo del décimo, o sea un centésimo de la distancia, luego un milésimo,
etc. es decir, siempre vendrá atrás de la tortuga. Podemos visualizar las
distancias a recorrer por Aquiles en la siguiente sucesión de valores: {d/2, d/20,
d/200, d/2000, d/20000, …..} donde ‘d’ es la distancia.
Como ven, queridos
amigos, el razonamiento de Zenón está lejos de ser una zoncera, es más, uno se
siente tentado a creer que la razón la tiene Zenón. Después uno se acuerda que,
en la realidad, Aquiles SÍ gana y, entonces se pregunta: ¿Dónde está la falla
del razonamiento de Zenón?
Sin entrar en
consideraciones muy técnicas, les diré, queridos amigos, que 20 siglos después
de Zenón, el inglés sir Isaac Newton y el alemán Gotffried Leibnitz
desarrollaron una herramienta matemática idónea para resolver el problema, el
llamado Cálculo Diferencial e Integral, dentro del cual se encuentra la
operación límite, más específicamente límite de una sucesión.
Repito, sin
ahondar demasiado, preguntémonos primero de qué sucesión estamos hablando. Pues,
de las distancias que debe recorrer Aquiles y que hemos visto más arriba entre
llaves. Primero, debe recorrer la mitad del recorrido, luego un décimo de dicha
mitad, un centésimo, un milésimo, un diezmilésimo, etc. hasta el infinito. Es
decir, es una sucesión de infinitos términos. Si Aquiles tiene que recorrer
infinitas distancias,… ¡No llegará nunca! (El movimiento es imposible. Zenón). Pero,
aquí es donde la operación límite nos sorprende diciendo que, una sucesión de
infinitos términos puede tener un resultado finito. ¡Y todo vuelve a la
normalidad! Ese resultado finito es, justamente, la distancia a la que Aquiles
alcanzará a la tortuga. Dicho ha sido esto sin ahondar demasiado en el tema
matemático en honor a quienes no lo manejan.
Rindámosle
honores a Zenón que planteó un problema que exigía una herramienta matemática,
para ser resuelto, que era inexistente en su tiempo.
Debo agregar
que el problema se puede resolver también de otra manera, usando la Cinemática,
rama de la Mecánica, que, a su vez, es una rama de la Física. Pero, esa
Cinemática también la desarrolló Newton, de modo que ¡había que esperar los
mismos 20 siglos!
Ahora bien,
este problema de Aquiles y la tortuga se reproduce, con otros actores, en varios
otros escenarios como, por ejemplo, el problema del reloj. Veamos, en un reloj,
la aguja minutera hace el papel de Aquiles y la horaria el de la tortuga. Supongamos
que se parte de la hora 05:00. La minutera es doce veces más rápida que la
horaria, pero, al recorrer desde el 12 hasta el 5, la horaria se movió un
doceavo hacia el 6. Cuando la minutera recorre ese doceavo, la horaria habrá
recorrido un doceavo del doceavo y así siguiendo hasta el infinito. De modo que
la minutera, ¿Nunca alcanzará a la horaria? Sabemos la respuesta con solo mirar
el reloj, pero ahora sabemos el porqué.
Recapitulemos
entonces, a la tesis universalmente aceptada de que Aquiles alcanzará y
superará a la tortuga, Zenón contrapone la antítesis de que no es así y, más
aún, que ni siquiera la alcanzará. Veinte siglos transcurrieron para que se
pudiera llegar a la síntesis que justificara lo que se podía ver a simple
vista, pero no se podía demostrar.
Bien, queridos
amigos, hasta aquí la nota de hoy. Sin embargo, no quisiera despedirme sin
antes ofrecerles un libro de mi autoría sobre el milenario juego del ajedrez.
Les acompaño la siguiente foto de la portada y les informo que cuesta apenas
7.000$ argentinos (más gastos de envío para los que no vivan en Mendoza,
Argentina).
Y, ahora sí, me
despido, ¡Hasta la próxima!
