Pero, ¿es realmente así?
Para ahondar en esta pregunta, estimados amigos, deberemos primero apelar a algunas definiciones. Comencemos por preguntarnos qué es la matemática.
Una definición precisa diría que:
La matemática es un sistema formal o sistema lógico. O sea, es un sistema abstracto compuesto por un lenguaje formal, axiomas, reglas de inferencia y a veces una semántica formal.
Bueno, bueno, bueno. Han aparecido varias palabras que ameritan definición. Veamos:
¿A qué hace referencia eso de sistema FORMAL?
Formal hace referencia a que es un sistema (o sea un conjunto de partes que operan entrelazadas) con una gramática formal; es decir, una estructura con un conjunto de reglas de formación que definen las cadenas de caracteres admisibles en un determinado lenguaje formal o lengua natural.
O sea, se caracteriza cuáles son las cadenas (conjunto de letras, números, mix de ambos) permitidas dentro de ese lenguaje. Por ejemplo, en el sistema formal de la lengua castellana, una cadena legal sería, por ejemplo, “recuerdo mi aventura en la selva” y una ilegal sería, por ejemplo, “ropta milur setría”.
Bien, en la definición de matemáticas aparece también la palabra “axiomas”. ¿Qué son los axiomas?
Pues, un axioma es una proposición o enunciado tan evidente que se considera que no requiere demostración.
Por ejemplo, “el todo es mayor que las partes” es un axioma.
Un axioma es un enunciado matemático que sirve como un punto de inicio del cual otros enunciados son derivados lógicamente por medio de lo que hemos llamado “reglas de inferencia”. Los axiomas no pueden ser derivados o probados. Las verdades derivadas de los axiomas por medio de las reglas de inferencia, se llaman teoremas. Es decir que los teoremas son verdades demostradas.
Por ejemplo, basándonos en que el todo es mayor que las partes, podemos derivar que el cuerpo humano es mayor que la cabeza, pues esta es una parte de aquel.
Y las reglas de inferencia serían, por ejemplo y hablando de la lengua castellana, las que estipula la Gramática.
Por último, digamos que se suele usar la palabra “postulado” como sinónimo de axioma. Sin embargo, no son exactamente lo mismo. Un postulado es una proposición no evidente por sí misma ni demostrada, pero que se acepta, como punto de partida de una teoría. Si la dicha teoría no presenta contradicciones se considera que el o los postulados en que se basa son ciertos, de lo contrario se los rechaza.
Y con este último aserto, volvemos a la pregunta del inicio de esta nota: ¿Quién nos asegura que, al derivar teoremas de los axiomas iniciales, no aparecerá alguno que contradiga otros, anteriores, destruyendo así el armado de las matemáticas?
Porque, tengamos en cuenta que las matemáticas no están terminadas, siempre quedan teoremas por derivar.
Claramente, esto preocupaba a los matemáticos, hasta que dos de ellos, Bolzano y Weierstrass, elaboraron un teorema que demuestra que ningún teorema futuro (que aún no está derivado) contradirá los anteriores, salvando así la coherencia de las matemáticas. Dicho sea de paso, ¡que pocas veces usamos el futuro simple del verbo “contradecir”! n’est-ce pas?
Y entonces, el sol lució radiante en el cielo de las matemáticas,… ¡por un tiempo!
¿Hasta cuándo Martín?
Hasta que el austríaco Kurt Gödel elaboró su teorema de incompletitud.
Kurt Gödel
¿Y de qué se trata el tal teorema?
Pues, veamos primero su enunciado:
Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles.
Lo cual, en otras palabras, quiere decir que hay verdades que quedan fuera de las matemáticas, que no podrán ser derivadas como teoremas.
Pero, ¿puede ser algo así?
¿No estará equivocado Gödel?
Para ilustrar, con un ejemplo muy claro, cómo esto es posible, permítanme que traiga a colación el “Acertijo MU” que les recomendara en la nota del 6 de febrero, titulada “Gödel, Escher y Bach”, en la que les presenté a Douglas Hofstadter, autor del mismo.
En una forma muy clara y simple, Hofstadter nos muestra cómo es posible el teorema de Gödel. Permítanme, entonces, que les plantee el Acertijo MU y les proponga que lo resuelvan. Aquí va:
Supongamos que existen los símbolos M, I, y U que se pueden combinar para producir cadenas de símbolos. El rompecabezas MU le pide a uno que, partiendo del axioma MI, se llegue a obtener la cadena MU usando en cada paso una de las siguientes reglas de inferencia o de transformación:
1.- Se puede agregar una U al final de cualquier cadena que termine en I.
Por ejemplo, MI se puede transformar en MIU.
2.- Se puede duplicar la secuencia después de M.
Por ejemplo, MIU se puede transformar en MIUIU.
O MIIUIU se puede transformar en MIIUIUIIUIU.
3.- Se puede reemplazar el triplete III por una U.
Por ejemplo, MUIII se puede transformar en MUU.
Bajo ninguna circunstancia se puede aplicar la regla en sentido inverso, por ejemplo:
Dado MU, derivar MIII.
4.- Se puede eliminar cualquier par UU.
Por ejemplo, MUUU se transforma en MU.
Bien, entonces, dadas estas reglas de inferencia y el axioma MI, el acertijo consiste en obtener el teorema MU.
Como ustedes podrán comprobar, el rompecabezas no se puede resolver: es imposible cambiar la cadena MI a MU aplicando repetidamente las reglas dadas. En otras palabras, MU no es un teorema del sistema formal MIU.
Les he adelantado la respuesta para dar por terminada esta nota, pero no por ello deja de ser atractivo e instructivo intentar resolverlo.
Lo fundamental es darse cuenta que todo sistema formal, y el sistema MIU lo es al igual que las matemáticas, tiene límites en el conocimiento de la verdad. Hay algunas que quedan fuera de su capacidad de demostrarlas como teoremas.
Sin embargo, no termina aquí la cosa, pero eso será motivo de otra nota.
Por el momento, vaya un:
¡Hasta pronto!
¡Y que se diviertan con el acertijo!
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